Tổng hợp 7 hằng đẳng thức đáng nhớ - Cách nhớ lâu cách hằng đẳng thức
Trong toán học sơ cấp, bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là những đẳng thức cơ bản nhất mà mỗi người học toán cần phải nắm vững. Các đẳng thức được chứng minh bằng phép nhân đa thức với đa thức. Các hằng đẳng thức này nằm trong nhóm các hằng đẳng thức đại số cơ bản, bên cạnh nhiều hằng đẳng thức khác.
Các bạn hãy xem tham khảo bài viết Tổng hợp 7 hằng đẳng thức đáng nhớ - Cách nhớ lâu cách hằng đẳng thức mà phucngocan.com tổng hợp đánh giá gửi đến cho bạn dưới đây nhé.
1. Ý nghĩa và vai trò của 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Khi đã nắm chắc chắn cách dùng cũng như hiểu bản chất của bảy hằng đẳng thức đáng nhớ thì việc vận dụng tốt 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để giải toán là điều không khó, học sinh sẽ tiết kiệm được thời gian, công sức trong việc giải bài tập, cách giải sẽ dễ hiểu và hạn chế nhiều sai sót khi biến đổi công thức.
7 hằng đẳng thức đáng nhớ là công cụ không thể thiếu trong vốn kiến thức của học sinh, nhờ việc học các hằng đẳng thức giúp các bạn học sinh rèn được các kỹ năng quan sát, nhận xét cũng như sự tỉ mỉ trong khi phân tích các vấn đề trong toán học cũng như rèn luyện các kỹ năng cẩn thận cả trong những tình huống đời thường.
Khi vận dụng các đẳng thức tốt, giúp kết quả học tập của các bạn được nâng cao, các bạn sẽ thấy thích thú, đam mê và có tinh thần hứng thú trong việc học toán, việc suy nghĩ cách giải bài toán ở những bài tập khó phải áp dụng hằng đẳng thức để phân tích giúp các bạn tăng sự tư duy, tăng sự phát triển não bộ, và việc học các đẳng thức đáng nhớ góp phần trong việc phát triển trí tuệ và sự thông minh của trẻ ngay từ nhỏ.
2. Tổng hợp công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Công thức bảy hằng đẳng thức đáng nhớ bạn cần phải học thuộc:2.1. Bình phương của một tổng
2.2. Bình phương của một hiệu
2.3. Hiệu hai bình phương
2.4. Lập phương của một tổng
2.5. Lập phương của một hiệu
2.6. Tổng hai lập phương
Giải thích bằng lời : Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.
Ví dụ:
2.7. Hiệu hai lập phương
3. Một số lưu ý về các hằng đẳng thức đáng nhớ
Một số lưu ý về hằng đẳng thức đáng nhớ
Biến đổi các hằng đẳng thức chủ yếu là cách biến đổi từ tổng, hiệu thành tích giữa các số, kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử phải thành thạo thì áp dụng các hằng đẳng thức mới rõ ràng và chính xác được.
Để hiểu rõ về bản chất sử dụng hằng đẳng, khi áp dụng vào bài toán, học sinh có thể chứng minh sự tồn tại của hằng đẳng thức là đúng đắn bằng cách chuyển đổi ngược lại, sử dụng các hằng đẳng liên quan vào việc chứng minh bài toán.
Trong khi sử dụng hằng đẳng thức trong phân thức đại số, học sinh cần lưu ý rằng sẽ có nhiều hình thức biến dạng của công thức do tính chất mỗi bài toán nhưng bản chất vẫn là những công thức ở trên, chỉ là sự biến đổi qua lại để phù hợp trong việc tính toán.
4. Các hằng đẳng thức mở rộng và hệ quả cần phải học
Hằng đẳng thức mở rộng
4.1. Hằng đẳng thức mở rộng với hàm bậc 2
4.2. Hằng đẳng thức mở rộng với hàm bậc 3
4.3. Hằng đẳng thức dạng tổng quát
4.4. Nhị thức Newton
4.5. Hằng đẳng thức bắc cầu (tính chất bắc cầu)
Từ tính chất bắc cầu ta có thể mở rộng để giải bài tập:
Nếu a=b thì a + c = b + c
Nếu a=b thì a - c = b - c
Nếu a=b thì a.c = b.c
Nếu a=b thì a/c = b/c
5. Nguyên tắc để ghi nhớ 7 hằng đẳng thức
Một số phương pháp nhằm giúp các bạn học sinh có thể ghi nhớ bảy hằng đẳng thức một cách hiệu quả nhất
Thường xuyên ôn tập kiến thức về hằng đẳng thức
Ghi nhớ 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Học 7 hằng đẳng thức đáng nhớ qua bài hát
Sự phát triển của tri thức cũng như khoa học công nghệ, việc sáng tác các bài hát trong việc ghi nhớ kiến thức ngày càng nâng cao. Những bài hát hài hước, vui nhộn liên quan đến kiến thức học, giúp não bộ của học sinh tiếp thu tốt hơn, một minh chứng cụ thể là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ thay vì khó học với các con số, người ta thay chúng bằng phiên bản qua bài hát “sau tất cả” với nội dung liên quan đến các hằng đẳng thức, thu hút được sự chú ý cũng như sự thích thú của nhiều bạn trẻ, phục vụ trong việc nhớ kiến thức lâu dài.
6. Các dạng bài toán áp dụng 7 hằng đẳng thức
Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức
* Lời giải.
Ta có : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9
⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9
Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến
Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
* Lời giải.
Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4: hằng số không phụ thuộc vào biến x.
Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5
* Lời giải:
Ta có : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4
vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.
⇒ x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1
⇒ Kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1
Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2
* Lời giải:
Ta có : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2
Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x
⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4 [cộng 2 vế với 4] ⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2
Dạng 5 : Chứng minh đẳng thức bằng nhau
Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
* Lời giải:
Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A
Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
= 6a2b + 2b3
= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm)
⇒ Kết luận, vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ: Chứng minh biểu thức B nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x, biết:
B = (2-x)(x-4)-2
* Lời giải:
Ta có: B = (2-x)(x-4) – 1 = 2x – 8 – x2 + 4x – 2 = -x2 + 6x – 9 – 1 = -(x2 – 6x + 9) – 1 = -(x-3)2 – 1
Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 – 1 ≤ -1 < 0 với mọi x
Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2
* Lời giải:
– Ta có : A = x2 – 4x + 4 – y2 [để ý x2 – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức] = (x2 – 4x + 4) – y2 [nhóm hạng tử] = (x – 2)2 – y2 [xuất hiện đẳng thức số A2 – B2] = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x
= x(x2 – 4x + 4)
= x(x2 – 2.2x + 22)
= x(x – 2)2
Ví dụ 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x2 – 2xy – x + 2y
= (x2– x) + (2y – 2xy)
= x(x – 1) – 2y(x – 1)
= (x – 1)(x – 2y)
Ví dụ 4: Phân tích C thành nhân tử biết: C = x2 – 5x + 6
= x2 – 2x – 3x + 6
= x(x – 2) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x – 3)
Dạng 8: Tìm giá trị của x
Ví dụ: Tìm giá trị củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0
* Lời giải.
x2(x – 3) – 4x + 12 = 0
⇔ x2(x – 3) – 4(x – 3) = 0
⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0
⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2
⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2
7. Bài tập tự luyện về hằng đẳng thức
Bài 1: Tính
a) (x + 2y)2
b) (x - 3y)(x + 3y)
c) (5 - x)2
d) (x - 1)2
e) (3 - y)2
f) (x - y)2
Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng
a) x2+ 6x + 9
b) x2+ x + 1
c) 2xy2 + x2y4 + 1
Bài 3: Rút gọn biểu thức
a) (x + y)2+ (x - y)2
b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2+ (x + y)2
Bài 4: Tìm x biết
a) (2x + 1)2- 4(x + 2)2= 9
b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1
c) 3(x + 2)2+ (2x - 1)2- 7(x + 3)(x - 3) = 36
Bài 5: Tính nhẩm các hằng đẳng thức sau
a) 192; 282; 812; 912;
b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;
c) 292 - 82; 562- 462; 672 - 562;
Bài 6: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến x
a) 9x2- 6x +2
b) x2 + x + 1
c) 2x2 + 2x + 1.
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a) A = x2 - 3x + 5
b) B = (2x - 1)2+ (x + 2)2
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức
a) A = 4 - x2 + 2x
b) B = 4x - x2
Bài 9: Tính giá trị của biểu thức
A. x3+ 12x2+ 48x + 64 tại x = 6
B. x3 – 6x2 + 12x – 8 tại x = 22
C. x3+ 9x2+ 27x + 27 tại x= - 103
D. x3 – 15x2 + 75x - 125 tại x = 25
Bài 10.Tìm x biết:
a) (x - 3)(x2+ 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1
b) (x + 1)3- (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -10
Bài 11: Rút gọn
a. (x - 2)3 – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3)
b. (x - 2)(x2 – 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x +4)
d. (x + y)3 – (x - y)3 – 2y3
e. (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)
Bài 12: Chứng minh
a. a3+ b3 = (a + b)3– 3ab(a + b)
b. a3 - b3 = (a - b)3 – 3ab(a - b)
Bài 13: Dựa vào phép tính cho trước
a. Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3 + 3xy
b. Cho x - y = 1. Tính giá trị của biểu thức x3- y3- 3xy
Bài 14: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
A = (2x + 3)(4x2– 6x + 9) – 2(4x3– 1)
B = (x + y)(x2– xy + y2) + (x - y)(x2+ xy + y2) – 2x3
Bài 15
Cho a + b + c = 0. Chứng minh M= N= P với
M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b)
Những hằng đẳng thức đáng nhớ trên rất quan trọng tủ kiến thức của chúng ta. Thế nên các bạn hãy nghiên cứu và ghi nhớ nó nhé. Những đẳng thức đó giúp chúng ta xử lý các bài toán dễ và khó một cách dễ dàng, các bạn nên làm đi làm lại để bản thân có thể vận dụng tốt hơn. Chúc các bạn thành công và chăm chỉ trên con đường học tập. Hẹn các bạn ở những bài tiếp theo.
Xem thêm các bài viết sau:
