Tổng hợp 7 hằng đẳng thức đáng nhớ - Cách nhớ lâu cách hằng đẳng thức

Trong toán học sơ cấp, bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là những đẳng thức cơ bản nhất mà mỗi người học toán cần phải nắm vững. Các đẳng thức được chứng minh bằng phép nhân đa thức với đa thức. Các hằng đẳng thức này nằm trong nhóm các hằng đẳng thức đại số cơ bản, bên cạnh nhiều hằng đẳng thức khác.

Các bạn hãy xem tham khảo bài viết Tổng hợp 7 hằng đẳng thức đáng nhớ - Cách nhớ lâu cách hằng đẳng thức mà phucngocan.com tổng hợp đánh giá gửi đến cho bạn dưới đây nhé.

1. Ý nghĩa và vai trò của 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là kiến thức quan trọng trong chương trình môn toán THCS, các bạn được tiếp xúc đầu tiên ngay từ khi bắt đầu lên lớp 8 và khi lên các lớp cao hơn thì bảy đẳng thức đáng nhớ được áp dụng trong các bài toán nâng cao nhiều hơn, và theo các bạn suốt quãng đường học tập. Bảy đẳng thức đáng nhớ giống như cái tên gọi của nó, “đáng nhớ” ở đây và thể hiện vai trò của nó trong việc tiếp thu kiến thức của các bạn trẻ, hằng đẳng thức là công cụ đem lại nhiều lợi ích khi áp dụng vào môn toán ở chương trình học tập.

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Khi đã nắm chắc chắn cách dùng cũng như hiểu bản chất của bảy hằng đẳng thức đáng nhớ thì việc vận dụng tốt 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để giải toán là điều không khó, học sinh sẽ tiết kiệm được thời gian, công sức trong việc giải bài tập, cách giải sẽ dễ hiểu và hạn chế nhiều sai sót khi biến đổi công thức.

7 hằng đẳng thức đáng nhớ là công cụ không thể thiếu trong vốn kiến thức của học sinh, nhờ việc học các hằng đẳng thức giúp các bạn học sinh rèn được các kỹ năng quan sát, nhận xét cũng như sự tỉ mỉ trong khi phân tích các vấn đề trong toán học cũng như rèn luyện các kỹ năng cẩn thận cả trong những tình huống đời thường.

Khi vận dụng các đẳng thức tốt, giúp kết quả học tập của các bạn được nâng cao, các bạn sẽ thấy thích thú, đam mê và có tinh thần hứng thú trong việc học toán, việc suy nghĩ cách giải bài toán ở những bài tập khó phải áp dụng hằng đẳng thức để phân tích giúp các bạn tăng sự tư duy, tăng sự phát triển não bộ, và việc học các đẳng thức đáng nhớ góp phần trong việc phát triển trí tuệ và sự thông minh của trẻ ngay từ nhỏ.

2. Tổng hợp công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Công thức bảy hằng đẳng thức đáng nhớ bạn cần phải học thuộc:

2.1. Bình phương của một tổng

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Giải thích công thức bằng lời : Bình phương của một tổng bằng bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.
Ví dụ: 

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

2.2. Bình phương của một hiệu

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Giải thích công thức bằng lời : Bình phương của một hiệu bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân số thứ hai sau đó cộng bình phương với số thứ hai.
Ví dụ:

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

2.3. Hiệu hai bình phương

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Giải thích : Hiệu hai bình phương của hai số bằng tổng hai số đó nhân với hiệu hai số đó.
Ví dụ:

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

2.4. Lập phương của một tổng

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Giải thích bằng lời : Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai cộng với lập phương số thứ hai.
Ví dụ:

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

2.5. Lập phương của một hiệu

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Giải thích bằng lời : Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất  nhân với bình phương số thứ hai trừ đi lập phương số thứ hai
Ví dụ:

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

2.6. Tổng hai lập phương

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Giải thích bằng lời : Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

Ví dụ:

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

2.7. Hiệu hai lập phương

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Giải thích bằng lời : Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.
Ví dụ:

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

3. Một số lưu ý về các hằng đẳng thức đáng nhớ

Với A,B có thể là các số hoặc ở dạng chữ (đơn thức, đa thức) hay A,B là các biểu thức bất kỳ, áp dụng các hằng đẳng thức vào bài tập cụ thể thì điều kiện của A, B cần có để thực hiện làm bài tập dưới đây:

Lưu ý về hằng đẳng thức đáng nhớ

Một số lưu ý về hằng đẳng thức đáng nhớ

  • Biến đổi các hằng đẳng thức chủ yếu là cách biến đổi từ tổng, hiệu thành tích giữa các số, kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử phải thành thạo thì áp dụng các hằng đẳng thức mới rõ ràng và chính xác được.

  • Để hiểu rõ về bản chất sử dụng hằng đẳng, khi áp dụng vào bài toán, học sinh có thể chứng minh sự tồn tại của hằng đẳng thức là đúng đắn bằng cách chuyển đổi ngược lại, sử dụng các hằng đẳng liên quan vào việc chứng minh bài toán.

  • Trong khi sử dụng hằng đẳng thức trong phân thức đại số, học sinh cần lưu ý rằng sẽ có nhiều hình thức biến dạng của công thức do tính chất mỗi bài toán nhưng bản chất vẫn là những công thức ở trên, chỉ là sự biến đổi qua lại để phù hợp trong việc tính toán.

Ví dụ:

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

4. Các hằng đẳng thức mở rộng và hệ quả cần phải học

Hằng đẳng thức nâng cao

Hằng đẳng thức mở rộng

4.1. Hằng đẳng thức mở rộng với hàm bậc 2

(a+b)^2=(a-b)^2+4ab

(a-b)^2=(a+b)^2-4ab

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

(a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc

(a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc

4.2. Hằng đẳng thức mở rộng với hàm bậc 3

a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2

a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)

a^3-b^3=(a-b)^3+3a^2b-3ab^2

a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)

(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)

4.3. Hằng đẳng thức dạng tổng quát

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

* Với n là số lẻ thuộc N (tập hợp số tự nhiên)
Xem thêm:

4.4. Nhị thức Newton

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Với a,b thuộc tập hợp số thực (R), n thuộc tập hợp số tự nhiên dương (N*)

4.5. Hằng đẳng thức bắc cầu (tính chất bắc cầu)

Nếu a=c và b=c thì a=b
Từ tính chất bắc cầu ta có thể mở rộng để giải bài tập:
Nếu a=b thì a + c = b + c
Nếu a=b thì a - c = b - c
Nếu a=b thì a.c = b.c
Nếu a=b thì a/c = b/c

5. Nguyên tắc để ghi nhớ 7 hằng đẳng thức

Một số phương pháp nhằm giúp các bạn học sinh có thể ghi nhớ bảy hằng đẳng thức một cách hiệu quả nhất

Thường xuyên ôn tập kiến thức về hằng đẳng thức

Bất kỳ kiến thức nào dù ở lĩnh vực nào, đặc biệt là các hằng đẳng thức đáng nhớ, nếu muốn ghi nhớ kiến thức đó như là tài sản vốn có của mình thì học sinh phải thường xuyên vận dụng nó hàng ngày, sự rèn luyện sẽ hình thành cho các bạn những thói quen tốt. Học sinh nên học các đẳng thức mỗi ngày, vận dụng chúng thành thạo vào những bài toán trước tiên là đơn giản sau đó mới phức tạp dần lên.

Ghi nhớ 7 hằng đẳng thức

Ghi nhớ 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Vận dụng thường xuyên còn giúp các bạn rèn được tính kiên trì, tìm tòi cũng như khám khá được công thức mới mà mình chưa biết một cách thích thú. Không có tri thức nào là mãi mãi nếu các bạn không thường xuyên trau dồi nó, cũng như phát triển nó. Hằng đẳng thức như một kiến thức vốn có mà khoa học đã chứng minh cụ thể tính đúng đắn của nó, việc học sinh làm là dùng nó theo cách tiếp thu của bản thân một cách chính xác, vì nó phục vụ rất nhiều trong quá trình làm bài của các bạn, đặc biệt những bài tập khó, những bài tập đánh giá sự thông minh của học sinh trong các kỳ thi hay bài kiểm tra.

Học 7 hằng đẳng thức đáng nhớ qua bài hát

Bài hát về 7 Hằng đẳng thức (Sau tất cả cover by Nhật Anh)
Sự phát triển của tri thức cũng như khoa học công nghệ, việc sáng tác các bài hát trong việc ghi nhớ kiến thức ngày càng nâng cao. Những bài hát hài hước, vui nhộn liên quan đến kiến thức học, giúp não bộ của học sinh tiếp thu tốt hơn, một minh chứng cụ thể là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ thay vì khó học với các con số, người ta thay chúng bằng phiên bản qua bài hát “sau tất cả” với nội dung liên quan đến các hằng đẳng thức,  thu hút được sự chú ý cũng như sự thích thú của nhiều bạn trẻ, phục vụ trong việc nhớ kiến thức lâu dài.

6. Các dạng bài toán áp dụng 7 hằng đẳng thức

Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1
* Lời giải.
Ta có : A = x2 – 4x + 4 =  x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9
⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

 Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
* Lời giải.
Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4: hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5

* Lời giải:

  • Ta có : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

  • vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.

⇒  x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4

  • Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

⇒ Kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2

Lời giải:

  • Ta có : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2

  • Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x

⇔  4 – (x – 2)2 ≤ 4 [cộng 2 vế với 4] ⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

Dạng 5 : Chứng minh đẳng thức bằng nhau

Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Lời giải:

  • Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A

  • Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3

(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

2b(3a2 + b2) = VP (đpcm)

⇒ Kết luận, vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
⇒ Kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức

Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.
Ví dụ: Chứng minh biểu thức B nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x, biết: 
B = (2-x)(x-4)-2
* Lời giải: 
Ta có: B = (2-x)(x-4) – 1 = 2x – 8 – x2 + 4x – 2 = -x2 + 6x – 9 – 1 = -(x2 – 6x + 9) – 1 = -(x-3)2 – 1
Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 – 1 ≤ -1 < 0 với mọi x

Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

 Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2
* Lời giải:
– Ta có : A = x2 – 4x + 4 – y2 [để ý x2 – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức] = (x2 – 4x + 4) – y2  [nhóm hạng tử] = (x – 2)2 – y2   [xuất hiện đẳng thức số A2 – B2] = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
 Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x
= x(x2 – 4x + 4)
= x(x2 – 2.2x + 22)
= x(x – 2)2
 Ví dụ 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x2 – 2xy – x + 2y
= (x2– x) + (2y – 2xy)
= x(x – 1) – 2y(x – 1)
= (x – 1)(x – 2y)
 Ví dụ 4:  Phân tích C thành nhân tử biết: C = x2 – 5x + 6
= x2 – 2x – 3x  + 6
= x(x – 2) – 3(x  – 2)
= (x – 2)(x – 3)

Dạng 8: Tìm giá trị của x

Ví dụ: Tìm giá trị củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0
* Lời giải.
x2(x – 3) – 4x + 12 = 0
⇔ x2(x – 3) – 4(x – 3) = 0
⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0
⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2
⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

7. Bài tập tự luyện về hằng đẳng thức

Bài 1: Tính

a) (x + 2y)2
b) (x - 3y)(x + 3y)
c) (5 - x)2
d) (x - 1)2
e) (3 - y)2
f) (x - y)2

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng

a) x2+ 6x + 9
b) x2+ x + 1
c) 2xy2 + x2y4 + 1

Bài 3: Rút gọn biểu thức

a) (x + y)2+ (x - y)2
b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2+ (x + y)2

Bài 4: Tìm x biết

a) (2x + 1)2- 4(x + 2)2= 9

b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1

c) 3(x + 2)2+ (2x - 1)2- 7(x + 3)(x - 3) = 36

Bài 5: Tính nhẩm các hằng đẳng thức sau

a) 192; 282; 812; 912;

b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;

c) 292 - 82; 562- 462; 672 - 562;

Bài 6: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến x

a) 9x2- 6x +2

b) x2 + x + 1

c) 2x2 + 2x + 1.

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a) A = x2 - 3x + 5

b) B = (2x - 1)2+ (x + 2)2

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức

a) A = 4 - x2 + 2x

b) B = 4x - x2

Bài 9: Tính giá trị của biểu thức

A. x3+ 12x2+ 48x + 64 tại x = 6 

B. x3 – 6x2 + 12x – 8 tại x = 22

C. x3+ 9x2+ 27x + 27 tại x= - 103 

D. x3 – 15x2 + 75x - 125 tại x = 25

Bài 10.Tìm x biết:

a) (x - 3)(x2+ 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1

b) (x + 1)3- (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -10

Bài 11: Rút gọn 

a. (x - 2)3 – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3)

b. (x - 2)(x2 – 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x +4)

d. (x + y)3 – (x - y)3 – 2y3

e. (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)

Bài 12: Chứng minh

a. a3+ b3 = (a + b)3– 3ab(a + b)

b. a3 - b3 = (a - b)3 – 3ab(a - b)

Bài 13: Dựa vào phép tính cho trước

a. Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3 + 3xy

b. Cho x - y = 1. Tính giá trị của biểu thức x3- y3- 3xy

Bài 14: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

A = (2x + 3)(4x2– 6x + 9) – 2(4x3– 1)

B = (x + y)(x2– xy + y2) + (x - y)(x2+ xy + y2) – 2x3

Bài 15

Cho a + b + c = 0. Chứng minh M= N= P với 

M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b)

Những hằng đẳng thức đáng nhớ trên rất quan trọng tủ kiến thức của chúng ta. Thế nên các bạn hãy nghiên cứu và ghi nhớ nó nhé. Những đẳng thức đó giúp chúng ta xử lý các bài toán dễ và khó một cách dễ dàng, các bạn nên làm đi làm lại để bản thân có thể vận dụng tốt hơn. Chúc các bạn thành công và chăm chỉ trên con đường học tập. Hẹn các bạn ở những bài tiếp theo.

Xem thêm các bài viết sau:

 
Tư vấn nhanh